GermanWikipedia - /page/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Komplanarität</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Komplanarität</h1>

</header>

</div>

Komplanarität (auch Koplanarität oder Coplanarität, von <a href="Latein" title="Latein">lat.</a> co- und planar „in der selben Ebene liegend“) ist ein Begriff aus der <a href="Analytische_Geometrie" title="Analytische Geometrie">Analytischen Geometrie</a>, einem Teilgebiet der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a>. Drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, erzeugen eindeutig eine <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a>, in der sie liegen.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Mehr als drei Punkte sind komplanar, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Entsprechend sind drei <a href="Vektor" title="Vektor">Vektoren</a> komplanar, wenn sie in derselben Ebene liegen.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Dies ist genau dann der Fall, wenn sich einer der Vektoren als <a href="Linearkombination" title="Linearkombination">Linearkombination</a> der anderen beiden darstellen lässt, d. h. wenn die drei Vektoren <a href="Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit" title="Lineare Unabhängigkeit">linear abhängig</a> sind.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Komplanaritätsuntersuchung">Komplanaritätsuntersuchung</h2></div>

In der <a href="Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">linearen Algebra</a> bedeutet Komplanarität bei <a href="Vektor" title="Vektor">Vektoren</a> eines <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraums</a>, dass der von diesen Vektoren aufgespannte <a href="Untervektorraum" title="Untervektorraum">Untervektorraum</a> die <a href="Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">Dimension</a> 2 hat. Zur Prüfung der Komplanarität von Vektoren kann eine Komplanaritätsuntersuchung durchgeführt werden. Hierfür gibt es mehrere Möglichkeiten:

Bei drei komplanaren Vektoren muss sich einer von ihnen als Linearkombination der beiden anderen darstellen lassen. Gelingt es zum Beispiel zu zeigen, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}=r{\vec {b}}+s{\vec {c}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}=r{\vec {b}}+s{\vec {c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c173caf19d6406683bc47c4f614a33b14bd65fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.625ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}=r{\vec {b}}+s{\vec {c}}}" loading="lazy"> für reelle Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> gilt, so sind die Vektoren komplanar. Die Prüfung läuft dann auf das Lösen eines <a href="Lineares_Gleichungssystem" title="Lineares Gleichungssystem">linearen Gleichungssystems</a> mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten hinaus.

Bei drei komplanaren Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/befa941df6751fd0d377ccd7d31130ef372a3b8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.615ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}" loading="lazy"> muss die <a href="Gleichung" title="Gleichung">Gleichung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha {\vec {a}}+\beta {\vec {b}}+\gamma {\vec {c}}={\vec {0}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha {\vec {a}}+\beta {\vec {b}}+\gamma {\vec {c}}={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1eb691b12e67d7af1d9d038ab7abf0ed6220136.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.57ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha {\vec {a}}+\beta {\vec {b}}+\gamma {\vec {c}}={\vec {0}}}" loading="lazy"> eine Lösung haben, bei der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/301cc1b37ba8f0fb0c9bedee5efa5e0b5bc9e791.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.15ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }" loading="lazy"> nicht alle null sind. Die Prüfung läuft dann auf das Lösen eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten hinaus.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Entstammen die Vektoren einem dreidimensionalen Vektorraum, so lässt sich diese Prüfung mit dem <a href="Spatprodukt" title="Spatprodukt">Spatprodukt</a> durchführen: Die Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/befa941df6751fd0d377ccd7d31130ef372a3b8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.615ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}" loading="lazy"> sind genau dann komplanar, wenn ihr Spatprodukt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d508d1f9e0cc13febaa97c80d7018d39afdacf69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.685ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=0}" loading="lazy"> ist. Auch gilt dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \det({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0560efd682cc64500603de6cb2ad3381bd5792d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.914ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \det({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=0}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel">Beispiel</h2></div>

Drei Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}},{\vec {b}}={\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}},{\vec {b}}={\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add7c721694ad8a45377e23f56008d69c5f6bc6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:21.516ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}},{\vec {b}}={\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {c}}={\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {c}}={\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e8b5fcd144d94d408b16d5967f2dc5e9f199f7f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:10.302ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {c}}={\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> sollen auf Komplanarität untersucht werden.

Ansatz:

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}=r\cdot {\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dfceb1aa4a4299e7373a4db1c9157ba3b916b1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:29.379ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}=r\cdot {\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r,s\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r,s\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9a89ebdf27d625a7b214cc04cfbe673f5cbddcf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.692ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r,s\in \mathbb {R} }" loading="lazy">.

Aus dem Ansatz folgt das lineare Gleichungssystem:

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}2r+2s&=&2&{\text{(I)}}\\6r+0s&=&4&{\text{(II)}}\\7r+4s&=&6&{\text{(III)}}\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1de733fa06d151dbdd5e97c92e01873308af92df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:22.322ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}2r+2s&=&2&{\text{(I)}}\\6r+0s&=&4&{\text{(II)}}\\7r+4s&=&6&{\text{(III)}}\end{matrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Aus Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\text{II}})}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\text{II}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ef598ca2b1e2072a97215b10a97691fee0ef403.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.489ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\text{II}})}" loading="lazy"> folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=2/3}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=2/3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d9c3bcb20ffef6afd5bd44a089043f48f5279dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.634ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=2/3}" loading="lazy">. Einsetzen in Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\text{I}})}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\text{I}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b35fba0bab8d73f7fca5b4c38270a84384d1deae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.649ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\text{I}})}" loading="lazy"> und Umstellen liefert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=1/3}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=1/3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3f59b878c5c29ca4e841f60a88d99be887ec6f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.676ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s=1/3}" loading="lazy">. Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\text{III}})}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\text{III}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2edd837209e9fd3cbc1d2f1bdf1b8beaa7306484.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\text{III}})}" loading="lazy"> ist für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=2/3}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=2/3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d9c3bcb20ffef6afd5bd44a089043f48f5279dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.634ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=2/3}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=1/3}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=1/3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3f59b878c5c29ca4e841f60a88d99be887ec6f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.676ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s=1/3}" loading="lazy"> wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 7\cdot 2/3+4\cdot 1/3=6}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 7\cdot 2/3+4\cdot 1/3=6}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23ddacdb1d55e08a0599ebbcfa3cd8057a8e8afa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.759ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 7\cdot 2/3+4\cdot 1/3=6}" loading="lazy"> erfüllt. Somit ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}}" loading="lazy"> eine Linearkombination von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {b}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {b}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c9ef58be7103eb0b2bfcb460df23430f6a36216.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.094ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {b}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {c}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/965bd8710781b710cbfdb79da0b4e3b097bef506.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {c}}}" loading="lazy">,

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {2}{3}}\cdot {\vec {b}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\vec {c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a00ed1fc64008d29cdc5b2653030b878b6481a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.841ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {2}{3}}\cdot {\vec {b}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\vec {c}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {b}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {b}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c9ef58be7103eb0b2bfcb460df23430f6a36216.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.094ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {b}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {c}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/965bd8710781b710cbfdb79da0b4e3b097bef506.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {c}}}" loading="lazy"> sind komplanar.

<a href="Kollineare_Punkte#Kollineare_Vektoren" class="mw-redirect" title="Kollineare Punkte">Kollineare Vektoren</a> sind immer auch komplanar, es gibt unendlich viele Ebenen, in denen sie liegen können. Ersetzt man zum Beispiel den obigen Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {b}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {b}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c9ef58be7103eb0b2bfcb460df23430f6a36216.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.094ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {b}}}" loading="lazy"> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {d}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {d}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c40bb5b73433fa23b7d22f4160793cadaa1f669f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:10.627ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {d}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}}" loading="lazy">, dann sind die Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {c}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a34e5f985ed65c30b0dcdc5b61d52cae18dbe09b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.487ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {c}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {d}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {d}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e1eb48ef8121a782f64c8453fa6f80a9ca26e2e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {d}}}" loading="lazy"> kollinear. Eine Komplanaritätsuntersuchung der drei Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {d}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {d}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce33b57dd7a0935f977517d6c893d29be505dcc2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.811ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {d}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {c}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/965bd8710781b710cbfdb79da0b4e3b097bef506.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {c}}}" loading="lazy"> nach obigem Vorbild ergibt dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7903b8069a44c70f6f96511675bdd9a4ff200ed7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.351ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle s=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c19b110d7eb52a69381b88554e63c8a2aef376c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r=2}" loading="lazy"> als Lösungen des neuen Gleichungssystems, woraus die Kollinearität der beiden Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {d}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {d}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e1eb48ef8121a782f64c8453fa6f80a9ca26e2e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.547ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {d}}}" loading="lazy"> folgt. Versucht man dagegen den Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {c}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {c}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/965bd8710781b710cbfdb79da0b4e3b097bef506.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {c}}}" loading="lazy"> als Linearkombination der beiden anderen darzustellen, so sieht man auch ohne Rechnung, dass dies unmöglich ist, da diese beiden Vektoren keine Basis des durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {b}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {b}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c9ef58be7103eb0b2bfcb460df23430f6a36216.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.094ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {b}}}" loading="lazy"> erzeugten zweidimensionalen Vektorraums sind.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verwendung">Verwendung</h2></div>

Komplanaritätsuntersuchungen werden häufig bei der Ermittlung der Lagebeziehungen zwischen <a href="Gerade" title="Gerade">Geraden</a> oder Geraden und Ebenen durchgeführt.

In der Chemie ist z. B. bei <a href="Kongener" class="mw-redirect" title="Kongener">Kongeneren</a> von <a href="Polychlorierte_Biphenyle" title="Polychlorierte Biphenyle">polychlorierten Biphenylen</a> (PCB) die Coplanarität ein wichtiges Kriterium für deren Toxizität: Coplanare bzw. dioxinähnliche PCB sind deutlich toxischer.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Tilo Arens und andere: <cite style="font-style:italic">Mathematik</cite>. 5. Auflage. Springer, 2022, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 566.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Komplanarit%C3%A4t&rft.au=Tilo+Arens+und+andere&rft.btitle=Mathematik&rft.date=2022&rft.edition=5.&rft.genre=book&rft.isbn=9783662643884&rft.pages=566&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Chr. Dürr und andere: <cite style="font-style:italic">Analytische Geometrie Leistungskurs</cite>. Volk und Wissen Verlag, Berlin 1998, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 78.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Komplanarit%C3%A4t&rft.au=Chr.+D%C3%BCrr+und+andere&rft.btitle=Analytische+Geometrie+Leistungskurs&rft.date=1998&rft.genre=book&rft.isbn=9783060011735&rft.pages=78&rft.place=Berlin&rft.pub=Volk+und+Wissen+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Chr. Dürr und andere: <cite style="font-style:italic">Analytische Geometrie Leistungskurs</cite>. Volk und Wissen Verlag, Berlin 1998, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 55.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Komplanarit%C3%A4t&rft.au=Chr.+D%C3%BCrr+und+andere&rft.btitle=Analytische+Geometrie+Leistungskurs&rft.date=1998&rft.genre=book&rft.isbn=9783060011735&rft.pages=55&rft.place=Berlin&rft.pub=Volk+und+Wissen+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> H. Krämer, R. Höwelmann, I. Klemisch: <cite style="font-style:italic">Analytische Geometrie und Lineare Algebra</cite>. Verlag Moritz Diesterweg, Frankfurt am Main 1989, ISBN 3-425-05301-9, S. 75 – 82.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Komplanarit%C3%A4t&rft.au=H.+Kr%C3%A4mer%2C+R.+H%C3%B6welmann%2C+I.+Klemisch&rft.btitle=Analytische+Geometrie+und+Lineare+Algebra&rft.date=1989&rft.genre=book&rft.isbn=3425053019&rft.pages=75+-+82&rft.place=Frankfurt+am+Main&rft.pub=Verlag+Moritz+Diesterweg" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <cite style="font-style:italic">Chlorierte Biphenyle [MAK Value Documentation in German language, 2013]</cite>. In: <cite style="font-style:italic">The MAK-Collection for Occupational Health and Safety</cite>. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim 2013, ISBN 978-3-527-60041-0, S. 1–139, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/3527600418.mb0cbphpcbd0055">10.1002/3527600418.mb0cbphpcbd0055</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Komplanarit%C3%A4t&rft.atitle=Chlorierte+Biphenyle+%5BMAK+Value+Documentation+in+German+language%2C+2013%5D&rft.btitle=The+MAK-Collection+for+Occupational+Health+and+Safety&rft.date=2013-05-22&rft.doi=10.1002%2F3527600418.mb0cbphpcbd0055&rft.genre=book&rft.isbn=9783527600410&rft.pages=1-139&rft.place=Weinheim&rft.pub=Wiley-VCH+Verlag+GmbH+%26+Co.+KGaA" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-07-25" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Komplanarit%C3%A4t&oldid=258274768">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>